Geometría ordenada | axiomas de la geometría ordenada

Axiomas de la geometría ordenada

  1. Existen al menos dos puntos.
  2. Si A y B son dos puntos distintos, entonces existe un punto C tal que [ABC].
  3. Si [ABC], entonces A y C son distintos (A≠C).
  4. Si [ABC], entonces [CBA] pero no [CAB].
  5. Si C y D son puntos distintos en la línea AB, entonces A está en la línea CD.
  6. Si AB es una línea, entonces existe un punto C que no está en la línea AB.
  7. (Axioma de Pasch) Si ABC es un triángulo y [BCD] y [CEA], entonces existe un punto F en la línea DE tal que [AFB].
  8. Axioma de dimensionalidad:
    1. Para la geometría ordenada plana, todos los puntos están en un único plano, o
    2. si ABC es un plano, entonces existe un punto D que no está en el plano ABC.
  9. Todos los puntos están en el mismo plano, espacio, etc. (dependiendo de la dimensión que uno elija para trabajar).
  10. (Axioma de Dedekind) Para toda partición de todos los puntos de una línea en dos conjuntos no vacíos tal que ninguno de los puntos de cualquiera se sitúa entre dos puntos de la otra, existe un punto de uno de los conjuntos que se sitúa entre todos los otros puntos de ese conjunto y todo punto del otro conjunto.

Los axiomas están fuertemente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert.