Característica de Euler | generalización a las superficies

Generalización a las superficies

Esfera triangulada a partir de un icosaedro.

Una superficie compacta como la esfera, el toro, el bi-toro, un disco con borde, etc. surgen de deformar de forma continua un poliedro. Por ejemplo, si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformarán en curvas sobre la esfera, las caras serán "triángulos" y los vértices serán puntos sobre las mismas. Así la esfera quedará "triangulada" (Véase triangulación). Para definir la característica de una superficie se usaran estas triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidad las triangulaciones no deben ser hechas necesariamente con triángulos, sino con cualquier polígono, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una arista como máximo, y que, si comparten un lado, solo compartan los dos vértices de ese lado. Así la generalización de la característica de Euler para una superficie cerrada S es

La característica de Euler de superficies orientadas cerradas se relaciona con su género g, que es un número que describe la cantidad de «asas» que tiene la superficie. La relación es dada por:

Por ejemplo: El toro (la rosquilla) tiene una asa y por lo tanto .